Teste de comparação de limites vs teste de comparação direta

TL; DR: Sim, sua intuição final está correta. Não é apenas um número maior sendo dividido; você está removendo fendas (por exemplo, parte do primeiro termo, porque 1 é substituído por \ cos ^ 1 (1), que é menor).

Em mais detalhes:

Suponha que 0 \ leq a_n \ leq b_n para todos os n. O principal insight intuitivo por trás do teste de comparação direta é que 0 \ leq \ sum_n a_n \ leq \ sum_n b_n, portanto, se a soma de b_n for finita, a soma de a_n será finita (e, portanto, deve existir, já que a_n é estritamente positivo, o que é intuitivamente óbvio, mas a prova técnica é um pouco difícil).

Agora suponha, por exemplo, que a_n = \ cos ^ 2 (n) / n ^ {3/2} e b_n = 1 / n ^ {3/2}. Então, a_n \ leq b_n porque \ cos ^ 2 (n) \ leq 1, para que possamos aplicar o teste de comparação direta e geralmente fazer o mesmo para a última soma (como você observa, simplesmente aplicando o máximo no numerador).