Quando uma matriz terá autovalores negativos? e o que isso significa?

Existem muitas situações em que uma matriz terá valores próprios negativos. Aqui estão alguns:

1) Quando a matriz é negativa definida, todos os autovalores são negativos. 2) Quando a matriz é diferente de zero e semidefinida negativa, ela terá pelo menos um autovalor negativo. 3) Quando a matriz é real, tem uma dimensão ímpar e seu determinante é negativo, ela terá pelo menos um valor próprio negativo. 4) Quando a matriz é diagonal e possui algumas entradas diagonais negativas, ela tem autovalores negativos. 5) Quando a matriz é diferente de zero, real, simétrica e semifinida positiva, ela deve ter alguns autovalores negativos. 6) Quando a matriz é diferente de zero, real, simétrica e possui traço negativo, ela deve ter alguns autovalores negativos.

Todos esses são casos mais restritivos (alguns sobrepostos) em que você definitivamente sabe que há um autovalor negativo, mas não é exaustivo. Geralmente, uma matriz tem valores próprios negativos sempre que Ax = -cx para alguns c> 0, o que pode ocorrer de várias maneiras.

O significado de autovalores negativos em uma matriz é obviamente dependente do contexto. Aqui estão alguns exemplos em que posso pensar:

1) Interpretando geometricamente, uma matriz com um valor próprio negativo representa uma transformação linear que atua como um reflexo em algum eixo. Isso pode ter repercussões sobre se um conjunto de vetores orientados de uma maneira específica (por exemplo, de acordo com a regra da mão direita) mantém essa orientação ou não. 2) Nas equações diferenciais lineares, os autovalores negativos correspondem a modos / soluções não oscilatórios e exponencialmente estáveis. Portanto, se o vetor de condição inicial de um sistema corresponder a um autovalor negativo, o estado do sistema decairá para 0 como um exponencial sem oscilar. 3) Nas equações de diferença linear, os autovalores negativos correspondem a oscilações semelhantes ao papel dos valores imaginários diferentes de zero nas equações diferenciais lineares.