Existem vários métodos para mostrar isso. Um dos métodos básicos é usar algumas das fórmulas mais simples da trigonometria. Então vamos começar.

Você deve estar ciente da fórmula

\ sen (A + B) = \ sen A \ cos B + \ cos A \ sin B

\ cos (A + B) = \ cos A \ cos B- \ sen A \ sin B

Agora, primeiro encontre \ sin 2x usando a fórmula acima.

Substitua A e B por x na 1ª fórmula

Temos \ sin (x + x) = \ sin x \ cos x + \ cos x \ sin x.

Portanto \ sin 2x = 2 \ sin x \ cos x \ ldots (1)

similarmente

\ cos 2x = \ cos ^ 2x- \ sin ^ 2x

Usando \ sin ^ 2x + \ cos ^ 2x = 1 \ ldots (2)

\ cos 2x = 2 \ cos ^ 2x-1

Novamente usando eqn (2)

\ cos 2x = 1-2 \ sin ^ 2x \ ldots (3)

Agora para \ sin 3x substitua A e B por x e 2x ou vice-versa na primeira fórmula.

Temos \ sin (x + 2x) = \ sin x \ cos 2x + \ cos x \ sin 2x

Substituindo os valores de \ sin 2x e \ cos 2x, obtemos

\ sen 3x = (\ sen x) (1-2 \ sen ^ 2x) + (\ cos x) (2 \ sen x \ cos x)

Usando o eqn (2) e reorganizando os termos, obtemos

\ caixa {\ sin 3x = 3 \ sin x-4 \ sin ^ 3x}

similarmente

\ caixa {\ cos 3x = 4 \ cos ^ 3x-3 \ cos x}

Existe um segundo método interessante e envolve um número complexo. Para isso, você deve conhecer o teorema de De Moivre, que pode ser declarado como

(\ cos θ + i \ sin θ) ^ n = (\ cos nθ + i \ sin nθ)

Então (\ cos θ + i \ sin θ) ^ 3 = \ cos ^ 3θ-i \ sin ^ 3θ + 3i \ cos ^ 2θ \ sin θ-3 \ sin ^ 2θ \ cos θ

Agora, usando o eqn (2), obtemos

(\ cos 3θ + i \ sen 3θ) = (4 \ cos ^ 3θ-3 \ cos θ) + i (3 \ sen θ-4 \ sin ^ 3θ)

Quando dois números complexos são iguais, sua parte real e imaginária também é igual

Portanto, temos

\ caixa {\ cos 3θ = 4 \ cos ^ 3θ-3 \ cos θ}

\ caixa {\ sin 3θ = 3 \ sin θ-4 \ sin ^ 3θ}

Espero que ajude