Qual é a diferença real entre um espaço vetorial e um subespaço?

É essencial ver os espaços vetoriais como conjuntos e só então o conceito de subespaços ficará claro. Para ser um conjunto, é necessário uma definição que decida quem serão os elementos do conjunto. Um conjunto é um espaço vetorial significa que os elementos desse conjunto têm o comportamento algébrico de vetores sob alguma noção de adição e multiplicação escalar sobre um campo. Agora, observe que ser um espaço vetorial depende de quatro coisas:

  1. O conjunto original com o qual começamos, ou seja, o conjunto de vetores.
  2. Uma noção de adição de vetores.
  3. Um conjunto de escalares que formam um campo. (Quase sempre é um conjunto diferente dos vetores)
  4. Uma noção de multiplicação de vetores com esses escalares.

Se você ler os axiomas de um espaço vetorial, verá que todo o axioma usa essas quatro coisas no centro de cada instrução. Agora, você decide pegar um subconjunto do conjunto original - você faz isso por uma nova definição que escolhe os elementos do conjunto original usando uma nova regra.

Portanto, temos um novo concorrente para a parte 1 na lista acima. Mas decidimos ser preguiçosos e manter as partes 2 a 4 iguais (observe que 2 a 4 foram necessárias devido à forma como os elementos do conjunto original foram definidos e não tem nada a ver com esse novo subconjunto que criamos). Agora, se você puder mostrar que esse novo subconjunto, juntamente com os antigos significados de adição, escalares e multiplicação escalar, é um espaço vetorial, somente então dizemos que esse novo subconjunto é um subespaço do espaço vetorial original.

TLDR: A única diferença está na definição que determina os elementos dos conjuntos e que não seja um espaço vetorial e seu subespaço seja definido com a mesma adição, escalares e multiplicação escalar.