Qual é a diferença intuitiva real entre homotopia e homologia? eles detectam diferentes tipos de buracos?

A homologia conta buracos e limites de espaços. Isso permite classificações básicas de diferentes objetos topológicos com base em furos e limites que os definem. A homotopia leva isso adiante imaginando caminhos nesses objetos topológicos, em vez de limites. Então, imagine um círculo sem nada dentro dele versus um que seja preenchido. O limite será a linha que define as partes interna e externa do círculo. Um caminho ao redor do círculo mostrará que o vazio não pode ser deformado em um único ponto. No círculo preenchido, você pode puxar o caminho para um ponto em qualquer ponto dentro do círculo. Você será capaz de distinguir os círculos com diferentes números de Betti (dimensão de furos e limites), mas os caminhos fornecem uma verificação mais agradável disso, que é um pouco mais intuitivo (e tem propriedades mais fortes de equivalência).

Há muitas coisas a dizer aqui, dependendo da quantidade de topologia algébrica que você conhece. O mais simples é sobre o teorema de Hurewicz para

[math]\pi_1[/math]

e

[math]H_1[/math]

, que diz que se

[math]X[/math]

é um espaço conectado ao caminho, então

[math]H_1(X)[/math]

é a abelianização de

[math]\pi_1(X)[/math]

. Maybe the simplest space where you can clearly see the difference between these two constructions is the plane minus two points, which is homotopy equivalent to a wedge of two circles. Here [math]\pi_1[/math] is the free group [math]F_2[/math] on two generators, one for each point, whereas [math]H_1[/math] is the free abelian group [math]\mathbb{Z}^2[/math] on two generators, one for each point again. So both constructions detect the two points, but [math]\pi_1[/math] is tracking a lot more information about how paths wind around the two points in concert, whereas [math]H_1[/math] only tracks the winding number of a path around the two points individually.

Aqui está uma foto de um comutador neste

[math]\pi_1[/math]

(o “contorno de Pochhammer”), cuja imagem desaparece em

[math]H_1[/math]

mas que por si só não desaparece:

Tente se convencer de que 1) o número do enrolamento dessa curva em torno de cada um dos pontos marcados

[math]0[/math]

e

[math]1[/math]

é zero e que 2) essa curva não é nulo-homotópica: não pode ser reduzida a um ponto.

Um resultado mais profundo é o teorema de Dold-Thom, que diz que se

[math]X[/math]

é um bom espaço conectado ao caminho, existe um espaço topológico

[math]SP(X)[/math]

, o produto simétrico infinito de

[math]X[/math]

, de modo que os grupos de homologia

[math]H_i(X)[/math]

pode ser calculado como os grupos de homotopia

[math]\pi_i(SP(X))[/math]

. You can think of [math]SP(X)[/math] as being roughly the free topological commutative monoid on [math]X[/math]; its elements consist of tuples of points on [math]X[/math] with multiplicities, and points are allowed to move around and collide, whereupon their multiplicities add. (We also need to pick a basepoint [math]x_0 \in X[/math] that acts as the identity to really make the construction work, and this is the baspeoint at which we’re taking homotopy groups.) The infinite symmetric product is a kind of “linearization” of [math]X[/math], which correctly suggests that homology is a kind of “linearization” of homotopy (among other things, this is ultimately the reason why it’s easier to compute). This can be made more precise and elaborated on and generalized using the technical language of spectra and stable homotopy theory.

A manifestação mais simples dessa idéia de “linearização” é a observação de que

[math]H_0(X)[/math]

é o grupo abeliano livre em

[math]\pi_0(X)[/math]

, que é uma versão degenerada do teorema de Hurewicz.