Qual é a diferença entre uma série de potências e uma série de lname

Uma série é a soma de qualquer sequência. Isso pode ser finito; 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 é um exemplo de uma série finita. Ou pode ser infinito; 1 + 4 + 9 + 16 + 25 + 36 + \ cdots é um exemplo de uma série infinita, assim como 0,3 + 0,03 + 0,003 + 0,0003 + \ cdots. A primeira dessas séries infinitas é um exemplo de uma série divergente, a segunda é um exemplo de uma série convergente. Uma série convergente é uma série cujas somas parciais se aproximam de um certo valor L; dizemos que a série converge para L nesse caso. Se as somas parciais não convergirem, dizemos que a série diverge ou é divergente. Nos nossos exemplos, as somas parciais são, respectivamente:

1, 1 + 4, 1 + 4 + 9, 1 + 4 + 9 + 16, \ ldots

0,3, 0,3 + 0,03, 0,3 + 0,03 + 0,003, 0,3 + 0,03 + 0,003 + 0,0003, \ ldots

Uma série de potências formais é uma série infinita a_0 + a_1x + a_2x ^ 2 + a_3x ^ 3 + \ cdots, cujos coeficientes a_i estão em algum anel \ mathcal {R}. Somas e produtos de duas séries de poder formais são definidos como

\ left (\ sum_ {i = 0} ^ \ infty a_ix ^ i \ right) + \ left (\ sum_ {i = 0} ^ \ infty b_ix ^ i \ right) = \ sum_ {i = 0} ^ \ infty (a_i + b_i) x ^ i,

\ left (\ sum_ {i = 0} ^ \ infty a_ix ^ i \ right) \ left (\ sum_ {i = 0} ^ \ infty b_ix ^ i \ right) = \ sum_ {i = 0} ^ \ infty \ ! \ left (\ sum_ {k = 0} ^ i a_kb_ {ik} \ right) \! x ^ i.

Isso forma o anel \ mathcal {R} [[x]] de séries formais de poder sobre o anel \ mathcal {R}, com adição e multiplicação definidas como acima.

Uma série de potências é uma série de potências formal cujas variáveis ​​x podem obter valores do anel \ mathcal {R}. Isso significa que a noção de convergência ou divergência é reintroduzida para séries de potência, o que não está presente para séries de potência formais.

Exemplo 1: 1 + x + x ^ 2 + x ^ 3 + x ^ 4 + \ cdots é uma série de potências formal sobre os números reais, digamos. Quando considerados como uma série de potências, podemos substituir um número real em vez de x, para produzir uma série que pode convergir ou divergir como antes. Por exemplo, a série de potência converge para x = \ frac {1} {3}, mas não converge para x = 7.

Exemplo 2: 1 + x + 2x ^ 2 + 6x ^ 3 + 24x ^ 4 + \ cdots é uma série de potências formal sobre o anel de números inteiros. Quando considerados como uma série de potências, podemos substituir um número inteiro em vez de x, para produzir uma série que (neste caso) diverge para qualquer valor de x, exceto x = 0.