Qual é a diferença entre uma prova condicional e a lei do silogismo?

--- Há uma diferença entre estabelecer declarações logicamente relacionadas e realmente provar algo. Vou tentar ser um pouco óbvio no exemplo que apresento para que a diferença seja mais perceptível. --- A lei do silogismo fornece regras para manipular declarações lógicas para criar uma nova declaração lógica. Diz que se você tiver duas afirmações verdadeiras 1) Se A, então B. 2) Se B, então C., então você pode formar uma terceira afirmação que é logicamente equivalente a essas duas: 3) Se A, então C. Observe que a lei de silogismos não prova nada. Diz apenas que as declarações são logicamente equivalentes. Ou seja, se as afirmações 1 e 2 forem verdadeiras, então a afirmação 3 é verdadeira. Não há nenhuma afirmação de que as declarações SÃO VERDADEIRAS DE FATO. Vou mostrar um exemplo absurdo. Considere este silogismo: 1) Se uma rocha pode voar, então ela tem asas. 2) Se algo tem asas, é um pássaro. 3) Se uma rocha pode voar, então é um pássaro. A afirmação 3 é logicamente equivalente às afirmações 1 e 2. Portanto, se as afirmações 1 e 2 são verdadeiras, então a afirmação 3 é verdadeira. No entanto, o fato de estarem logicamente conectados não prova que uma rocha seja um pássaro. --- Uma prova condicional realmente prova algo e pode usar silogismos para fazer isso. O elemento essencial na prova condicional é a afirmação inicial de que A é VERDADEIRO. Em uma prova, você raciocina de uma afirmação verdadeira para outra, então deve começar com uma afirmação verdadeira. Para usar o exemplo acima para provar que uma pedra é um pássaro, você deve primeiro estabelecer que a afirmação "uma pedra pode voar" é verdadeira. No entanto, uma vez que nenhuma pedra pode voar (A é falso, não é verdadeiro), o silogismo (mesmo se VERDADEIRO) não ajuda a provar que uma pedra é um pássaro. Leia nos links abaixo.

Na lógica matemática, estou confuso sobre como esses dois são diferentes. A lei do silogismo é que se p implica q e q implica que r são ambos verdadeiros, então p implica que r é verdadeiro. Uma prova condicional mostra a mesma coisa, mas você a resolve de uma maneira diferente, assumindo que p é verdadeiro. A única diferença entre essas coisas é a maneira como você as resolve? E porque uma prova condicional é mais difícil de usar, por que você a usaria em vez da lei do silogismo?