Qual é a diferença entre uma derivada parcial e a derivada total?

Deixe-me oferecer um exemplo específico.

Pense em uma curva parametrizada, digamos, a curva dada por

x = cos (t) x = cos⁡ (t)

,

y = sin (t) y = sin⁡ (t)

. É claro que isso descreve o movimento circular em torno da origem em um plano, parametrizado por algumas variáveis

tt

.

Agora pense em uma função

f (x, y, t) f (x, y, t)

. Um exemplo físico seria um potencial dependente do tempo. Suponha

f (x, y, t) = t / [(x − x0) 2+ (y − y0) 2] f (x, y, t) = t / [(x − x0) 2+ (y − y0) 2]

. Suponha que tenhamos outra função que carece dessa dependência de tempo explícita:

g (x, y, t) = 1 / [(x − x0) 2+ (y − y0) 2] g (x, y, t) = 1 / [(x − x0) 2+ (y − y0) 2]

. O exemplo físico pode ser uma partícula se movendo em um potencial estacionário.

A derivada parcial de

ff

em relação a

tt

É dado por

F∂t = 1 (x − x0) 2+ (y − y0) 2∂f∂t = 1 (x − x0) 2+ (y − y0) 2

,

onde acabamos de tratar

xx

e

yy

como se fossem constantes, ignorando sua dependência de tempo. A expressão resultante captura até que ponto

ff

depende explicitamente

tt

.

Em contraste,

∂g / =t = 0∂g / ∂t = 0

, Desde a

gg

não tem dependência de tempo explícita.

A derivada total, no entanto, é diferente de zero em ambos os casos, pois

xx

e

yy

são eles próprios dependentes

$ t $ t

:

dfdt = ∂f∂t + ∂f∂xdxdt + ∂f∂ydydtdfdt = ∂f∂t + ∂f∂xdxdt + ∂f∂ydydt

= 1 (x − x0) 2+ (y − y0) 2 = 1 (x − x0) 2+ (y − y0) 2

−2t (x − x0) x˙ + (y − y0) y˙ [(x − x0) 2+ (y − y0) 2] 2−2t (x − x0) x˙ + (y − y0) y˙ [(x − x0) 2+ (y − y0) 2] 2

,

dgdt = +g∂t + ∂g∂xdxdt + ∂g∂ydydtdgdt = ∂g∂t + ∂g∂xdxdt + ∂g∂ydydt

= −2 (x − x0) x˙ + (y − y0) y˙ [(x − x0) 2+ (y − y0) 2] 2 = −2 (x − x0) x˙ + (y − y0) y˙ [(x − x0) 2+ (y − y0) 2] 2

.

O derivado total expressa até que ponto

ff

ou

gg

dependem do tempo, explícita ou implicitamente.

Portanto, no caso de exemplo de uma partícula e de um potencial dependente do tempo, a derivada total informa como o potencial muda com o tempo, como resultado da combinação do movimento da partícula e da dependência de tempo do campo potencial. Por outro lado, a derivada parcial diz exatamente a dependência de tempo do próprio campo, sem levar em consideração o movimento da partícula.

Matemática5 pontos

x2 + y2x2 + y2

Derivativo parcial-

É usado quando a função em questão depende de mais de uma variável.

Vamos considerar uma função

1) u = f (x, y, z, p, q, ...)

de várias variáveis. Essa função pode ser estudada mantendo todas as variáveis, exceto uma constante, e observando sua variação em relação a uma única variável selecionada. Se considerarmos todas as variáveis, exceto x, constantes, então

representa a derivada parcial de f (x, y, z, p, q, ...) em relação a x (os chapéus indicando variáveis ​​mantidas fixas). As variáveis ​​mantidas fixas são vistas como parâmetros.

Derivada total -

No caso de uma função de uma única variável, o diferencial da função y = f (x) é a quantidade.

dy = f '(x) Δdx.

Essa quantidade é usada para calcular a alteração aproximada no valor de f (x) devido a uma alteração dx em x

Outro exemplo……………..

Para uma função V (r, h) = πr ^ 2h, que é o volume de um cilindro de raio r

[math]r[/math]

e altura h, V depende de duas quantidades, os valores de re

[math]h[/math]

, que são ambas variáveis. V (r, h) é a nossa função aqui.

Quando tomamos a derivada de V (r, h) em relação a (digamos) r, medimos a sensibilidade da função para mudar quando um de seus parâmetros (as variáveis ​​independentes) está mudando. No entanto, não sabemos o que as outras variáveis ​​independentes estão fazendo, elas podem mudar, não podem. Eles ainda são variáveis ​​(incógnitas) para nós e nós os tratamos como tal.

Em vez disso, quando tomamos a derivada parcial da função V (r, h) em relação a r, também medimos a sensibilidade da função para mudar quando um de seus parâmetros está sendo alterado, mas as outras variáveis ​​são mantidas constantes, por isso as tratamos como números.

Eu espero que isso te ajude

Seu primeiro palpite estava correto

[math] \frac{\partial f}{\partial t}=0 [/math]

Isso é porque

[math]f[/math]

não tem uma dependência explícita de

[math]t[/math]

. A dependência explícita significa que

[math]f[/math]

muda diretamente quando

[math]t[/math]

alterar. Mas

[math]f[/math]

muda apenas via

[math]u,v[/math]

com

[math]t[/math]

Para obter mais detalhes, leia o seguinte:

Página no dartmouth.edu

Eu realmente não entendi o que era uma derivada total até encontrar uma explicação baseada em vetor. Uma derivada total é realmente uma extensão da idéia de uma derivada para um domínio funcional multidimensional.

Uma definição de uma derivada é que é a melhor aproximação linear para uma função em um ponto:

[math]f(x+\Delta x) \approx f(x) + \frac{df(x)}{dx}\Delta x[/math]

. Isso pode ser derivado da definição padrão

[math]\frac{df(x)}{dx} = \lim_{\Delta x\to0} \frac{f(x+\Delta x) - f(x)}{\Delta x}[/math]

ignorando o limite e resolvendo

[math]f(x+\Delta x)[/math]

.

Mas a definição padrão de uma derivada falha ao lidar com um domínio vetorial:

[math]\frac{df(x)}{d\vec{x}} = \lim_{\vec{\Delta x}\to0} \frac{f(\vec{x} + \vec{\Delta x}) - f(\vec{x})}{\vec{\Delta x}}[/math]

. Como você divide por um vetor?

Eu corri

direcional

derivados, que foram definidos usando uma definição ligeiramente diferente:

[math]D_{\vec{a}}f(\vec{x}) = \lim_{h\to0} \frac{f(\vec{x} + h\vec{a}) - f(\vec{x})}{h}[/math]

, e isso fazia sentido. Mas isso só deu a mudança em uma direção

[math]\vec{a}[/math]

, e ainda não era um "derivado total". Eu ainda não sabia o que era aquilo.

Derivadas parciais são frequentemente descritas como "pegue a derivada com relação a uma variável, tratando as outras variáveis ​​como constantes". Mas eles também podem ser vistos como derivadas direcionais em relação aos vetores de base. Então se você tem

[math]f(x,y)[/math]

, isso também pode ser visto como

[math]f(x,y) = F(x\hat{x} + y\hat{y})[/math]

e então você tem

[math]\frac{\partial f}{\partial x} = D_\hat{x}F, \frac{\partial f}{\partial y} = D_\hat{y}F[/math]

.

Isso explicava derivadas parciais e derivadas direcionais, mas não derivadas totais.

Foi quando minha fonte (perdida há muito tempo, desculpe) trouxe de volta a forma "melhor aproximação linear" da derivada. Se usarmos uma versão no domínio do vetor (e no intervalo do vetor) de

[math]\vec{f} : V \rightarrow U[/math]

na fórmula "melhor aproximação linear", obtemos

[math]\vec{f}(\vec{x} + \vec{\Delta x}) \approx \vec{f}(\vec{x}) + \frac{d\vec{f}}{d\vec{x}}\vec{\Delta x}[/math]

. Isso meio que faz sentido. Não há divisão, apenas multiplicação e adição. Mas em geral,

[math]\vec{f}(\vec{x})[/math]

é um vetor em

[math]U[/math]

, portanto, para a adição ao trabalho,

[math]\frac{d\vec{f}}{d\vec{x}}\vec{\Delta x}[/math]

também tem que ser um vetor em

[math]U[/math]

, enquanto

[math]\vec{\Delta x} \in V[/math]

. assim

[math]\frac{d\vec{f}}{d\vec{x}}[/math]

tem que ser uma transformação linear de

[math]V \rightarrow U[/math]

. A derivada de

[math]\vec{f}(\vec{a})[/math]

não é um número, é uma transformação linear ou uma matriz.

Isso funciona para 1-dimensional

[math]f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}[/math]

, o caso padrão ensinado no cálculo para calouros, pois as transformações lineares resultantes são números simples, exatamente como esperado.

A derivada de uma função

[math]f: \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}^m[/math]

é uma matriz composta pelo

[math]nm[/math]

derivadas parciais, o que também explica por que são chamadas

parcial.

Para mim, foi muito esclarecedor quando percebi que derivadas "parciais" e "totais" não são tipos diferentes de

derivados

; pelo contrário, são derivados de diferentes

funções

. A derivada total é uma derivada de uma função composta, exatamente como no seu primeiro exemplo, enquanto a derivada parcial é a derivada de uma das variáveis ​​que mantém o restante constante.

Imagine que o preço de uma casa nova é função de duas coisas: o custo da terra e o custo da contratação de trabalhadores da construção civil.

Ingenuamente, à medida que o custo da terra aumenta, o custo final da casa aumenta na mesma quantidade. Essa é a

derivativo parcial

.

Mas e se o custo da mão-de-obra também depender do custo da terra? Por exemplo, os trabalhadores da construção precisam de moradia; talvez se seus próprios custos de terra subirem, eles exigirão salários mais altos. Nesse caso, a verdadeira relação entre o custo da casa e o custo da terra é mais complexa do que apenas uma dependência direta. Esse relacionamento é o

derivado total

.

Matematicamente, para uma função

[math]f(x, y)[/math]

calculamos a derivada parcial

[math]\frac{\partial f}{\partial x}[/math]

segurando

[math]y[/math]

constante e tomando o derivado em relação a

[math]x[/math]

. Por outro lado, encontramos a derivada total

[math]\frac{\text{d} f}{\text{d} x}[/math]

adicionando o efeito direto de

[math]x[/math]

eo efeito indireto por meio de

[math]y[/math]

. portanto

[math]\frac{\text{d} f}{\text{d} x} = \frac{\partial f}{\partial x} + \frac{\partial f}{\partial y}\frac{dy}{dx}[/math]

.

Parece que alguém já abordou o seu caso específico de forma satisfatória, então eu gostaria de abordar a questão mais geral em questão.

Qual é a diferença entre diferenciação (total) e diferenciação parcial?

A resposta é bastante simples em algum sentido, mas o abuso de notação e equivalências variáveis ​​ilógicas nos livros didáticos de matemática modernos e similares causa mais do que seu quinhão de questões.

Portanto, diferenciação parcial é a mesma coisa que diferenciação total, mas é usada quando uma função está em termos de mais de uma variável e onde apenas uma variável está sendo diferenciada com todas as outras mantidas constantes. Então, por exemplo, alguma função

f (x)

pode ser totalmente diferenciado, mas uma função

f (x, y)

seria diferenciado em relação a apenas uma das variáveis. Também é bom ter em mente a definição padrão do derivado

e sabemos que é muito comparável ao da derivada parcial, mas a derivada parcial adiciona mais variáveis.

O restante da diferenciação parcial é basicamente o mesmo. Essencialmente, você está apenas diferenciando, mas ignorando algumas variáveis. Aqui está um exemplo,

.

É importante perceber o que é isso com relação às taxas de mudança. Então, digamos que temos alguma situação em que algum valor

varia em relação a várias variáveis, digamos que só temos duas,

e

por conveniência, depois tomar

é determinar a taxa de mudança conforme deixamos

valores variam e da mesma forma

é a taxa de mudança, pois apenas o

os valores variam.

Uma boa aplicação geométrica disso é certos problemas de volume e similares (existem exemplos mais interessantes do que o que se segue, mas isso se deve ao fato de demonstrar o que se entende). Então, digamos que queremos encontrar o volume de um cilindro. Sabemos pela geometria (derivá-lo se você quiser) que

para um cilindro, onde

é o raio

é altura e

é aproximadamente

. Isso pode ser pensado como uma função

e, da mesma forma, podemos determinar a taxa de variação do volume conforme variamos

ou

.

Deve-se notar também que é preciso ter cuidado para manter as noções separadas quando apropriado, especialmente com relação à notação. Por exemplo, parece um erro comum acreditar que derivadas parciais e derivadas direcionais são a mesma coisa, o que não são (embora estejam relacionadas). Se alguém mantém as idéias separadas e entende as noções que descrevi, então ele ou ela deve poder usar derivadas parciais efetivamente, com alguma prática, é claro.