Qual é a diferença entre uma derivada direcional e uma parcial?

Uma derivada parcial é na verdade uma derivada direcional, para uma direção paralela a um dos seus eixos de coordenadas. Mas existem outras direções além de Leste (parcial em relação a x) e Norte (parcial em relação a y). Se você escolher o Nordeste, por exemplo, poderá perguntar se essa direção aumenta ou diminui o valor de uma função, e com que rapidez ela o faz, e as respostas podem ser fornecidas com uma derivada direcional que não é uma derivada parcial. Talvez se ensinássemos derivadas direcionais primeiro, antes das derivadas parciais, haveria muito menos confusão na mente de alguns alunos sobre esses tópicos.

UMA

derivativo parcial

é, com efeito, uma derivada direcional na direção “crescente” ao longo do eixo apropriado.

Derivadas direcionais

medir a taxa de mudança em alguma direção a partir de um ponto, e essa direção pode ser

qualquer

vetor unitário, não necessariamente os especiais mencionados acima.

Por exemplo, se

f (x, y) = x2 + y2

, seus derivados parciais a qualquer momento são

∂f∂x = 2x

e

∂f∂y = 2y

. Poderíamos calcular a derivada direcional ao longo da direção

⟩ 1,0

, que seria dado por

-2x

em cada ponto, porque essa direção é o oposto do aumento

x

direção. Da mesma forma, poderíamos calcular derivadas direcionais em qualquer direção pontilhando

∇f

com o vetor de direção de interesse.