Qual é a diferença entre os recursos "lineares" e "não lineares"?

Todo modelo não linear pode ser linearmente localmente usando a expansão de Taylor.

Muitas vezes, um modelo é feito de equações diferenciais, e a questão é: podemos usar a expansão local de um modelo para investigar o modelo não linear geral?

Sim, podemos: da equação do pêndulo à relatividade geral ou dinâmica de fluidos.

Como exemplo educativo, tente encontrar a solução da equação de n ordem com um pequeno parâmetro

[math]\epsilon[/math]

para um termo de ordem n (

[math]\epsilon x^n+5 x-1=0[/math]

) Use Newton Rapson para a solução (modelo afim): qual é o efeito do parâmetro?

Solução:

Ponto de partida:

[math]x0=1/5[/math]

[math]x1=1/5-(\epsilon (1/5)^n)/(5 n (1/5)^n+5)[/math]

O termo linear significa, em um sentido, estar relacionado a linhas. Em termos de polinômios, significa que as variáveis ​​são todas de primeiro grau. Um operador linear tem a propriedade L (ax + by) = aL (x) + bL (y) onde aeb são constantes escalares, xey são vetores e L é uma matriz. Muitas operações são lineares, como diferenciação, transformações integrais. Equações diferenciais do tipo não linear, como y '' + y '+ y = y ^ 2, são mais difíceis de resolver do que as equações diferenciais lineares. Eles podem ter um termo não linear (por exemplo, y ^ 2) na variável dependente. Os sistemas dinâmicos descritos por equações diferenciais não lineares podem ter “trajetórias” ou soluções imprevisíveis ou caóticas. Pequenas mudanças no estado inicial do sistema produzem trajetórias ou estados finais muito diferentes. Geralmente, as equações lineares podem ser resolvidas com um número finito de operações e as equações não lineares requerem métodos de aproximação. Principalmente não linear refere-se a equações diferenciais não lineares. Álgebra linear estuda vetores e matrizes. Na álgebra linear, operadores lineares transformam vetor em vetores, de modo que se v = ax + by é um vetor, então também é T (v) = aT (x) + bT (y). T (v) = Av onde A é uma matriz v é um vetor.