Qual é a diferença entre o limite de uma sequência e o limite de uma função?

Bem, a resposta óbvia é: uma delas descreve o comportamento de um

seqüência

(tomando o limite como o comportamento de "cauda") e o outro descreve o comportamento de um

função

(considerando o limite em um ponto no domínio).

Uma pergunta melhor é: "

O que é

relação

entre o limite de uma função e o limite de uma sequência? "

Acontece que existe uma

caracterização seqüencial de limites de funções.

Isso diz que

limx → af (x) = Llimx → af (x) = L

se e apenas se

limn → ∞ {f (xn)} = Limite → f {f (xn)} = L

para

cada

seqüência

{xn} → a. {xn} → a.

Isso às vezes é aplicado para discutir a continuidade, por exemplo.

n2−1n2−1

nn

Os conceitos são semelhantes e, de fato, o limite de uma função pode ser definido em termos de limites de sequências, mas a principal diferença é que os limites de sequências são realmente limites de um determinado tipo de função - funções de números naturais a números reais.

Vamos dar uma olhada na definição de um limite (no infinito) de funções e seqüências:

[math]\lim_{x\to\infty} f(x) = L \iff \forall \epsilon > 0, \exists N \mid x > N \implies |f(x)-L| < \epsilon[/math]

[math]\lim_{n\to\infty} a_n = L \iff \forall \epsilon > 0, \exists N \mid n > N \implies |a_n-L| < \epsilon[/math]

Exceto pelo uso de

[math]n, a_n[/math]

ao invés de

[math]x, f(x)[/math]

, as duas definições são idênticas.

Para limites em um ponto finito, no entanto, há um problema. A definição padrão para funções:

[math]\lim_{x\to a}f(x) = L \iff \forall \epsilon > 0, \exists \delta \mid 0<|x-a|< \delta \implies |f(x)-L| < \epsilon[/math]

falha quando aplicado a sequências porque com uma sequência

[math]\delta[/math]

não pode ficar arbitrariamente pequeno.

[math]0<|n-a|<\delta[/math]

implica que

[math]\delta > 1[/math]

, portanto, um limite nesse sentido para uma sequência não é um conceito muito útil.

Eu mencionei que você pode definir o limite de uma função em termos de limites de sequências, então farei isso agora:

O limite

[math]\lim_{x\to a} f(x) = L[/math]

se, para todas as sequências possíveis

[math]a_n[/math]

, onde todos

[math]a_n[/math]

estão no domínio de f (x) mas não são iguais a

[math]a[/math]

, Você tem

[math]\lim_{n\to\infty} a_n = a \implies \lim_{n\to\infty} f(a_n) = L[/math]

.