Qual é a diferença entre o grau e a ordem de uma equação diferencial?

Quando nos limitamos à equação linear, a ordem de uma equação diferencial pode ser definida de uma maneira mais abstrata, via indução:

Uma equação diferencial (operador diferencial) da ordem k em um conjunto aberto U na linha real é um mapa linear D no espaço de funções suaves em U de modo que, para uma dada função do operador

[math] g\mapsto D(fg)-fD(g) [/math]

é um operador diferencial de ordem

[math] k-1[/math]

Um operador de ordem zero é um operador que satisfaz

[math] D(fg)=fD(g)[/math]

Observe as derivadas de ordem mais alta que aparecem na sua equação. Esse número é chamado de ordem da equação diferencial. Além disso, se essas derivadas (de ordem superior) aparecerem de maneira polinomial, o grau desse polinômio será chamado de grau da equação diferencial.

Pessoalmente, eles estão apenas dando nomes, então isso não importa ("A

rosa por qualquer outro nome

cheiraria como doce "- Shakespeare). A terminologia pode ajudar a solidificar a compreensão de alguém, e esses termos por si só não fornecerão nenhuma informação útil! Se sua equação for y (dy / dx) ^ (0,5) + y ^ 2 = 0 Infelizmente, existem outras definições de grau usando as quais podemos dar algum número como grau. Isso nos dá a sensação de que é um conceito inútil. Minha própria especulação sobre a origem do grau é (1) As pessoas poderiam pensar de apenas polinômios e (2) Se você estiver usando a técnica de transformação de Fourier para um PDE de coeficiente constante linear, ele se tornará uma transformada de Fourier polinomial multiplicadora do desconhecido.

Uma equação diferencial pode ser escrita na forma

[math]F(t,x,x',x'',\dots,x^{(n-1)},x^{(n)}) = 0[/math]

Onde

[math]x[/math]

é um escalar.

Então,

[math]n[/math]

é a ordem da equação.

No caso em que

[math]F(t,x,\dots,x^{(n)}) = P(x^{(n)};t,x,\dots,x^{(n-1)})[/math]

, um polinômio monônico na

[math]n[/math]

-th derivada onde todos os outros argumentos são tomados como parâmetros, então o grau de

[math]P[/math]

é o grau da equação.

Explicitamente, podemos escrever a equação na forma

[math]y^k + \sum_{i=0}^{k-1} a_i(\mu)y^i = 0[/math]

Onde

[math]y = x^{(n)}[/math]

,

[math]\mu = (t,x,\dots,x^{(n-1)})[/math]

e

[math]a_i[/math]

são funções escalares de

[math]\mu[/math]

.

Então,

[math]k[/math]

é o grau da equação.

A ordem de uma equação diferencial se refere à sua derivada de ordem mais alta. Por exemplo…

[math]y''+y'+y=f(x)[/math]

Esta seria uma equação diferencial de 2ª ordem.

O grau estaria se referindo ao mais alto grau presente, bem como um polinômio…

[math](y')^3x=y[/math]

Isso seria de 3º grau, mas apenas de 1ª ordem.

Ao contrário do que foi mencionado nas outras duas respostas já existentes, gostaria de mencionar algumas

pontos cruciais

sobre a

ordem

e

grau

de equações diferenciais.

Este tópico, ie

ordem

e

grau

A equação diferencial não é tão trivial como muitas vezes é projetada na maioria dos livros didáticos de matemática do ensino médio, evitando certos aspectos matemáticos mais refinados.

Então, vamos começar definindo convencionalmente o que um

ordem e

uma

grau

é e, em seguida, descubra onde tropeçamos de acordo com essa definição.

Definição..

ORDEM

: A ordem de uma equação diferencial é a ordem da derivada mais alta envolvida na equação.

GRAU:

O grau de uma equação diferencial,

dos quais os coeficientes diferenciais estão livres de radicais e frações,

é o índice integral positivo da maior potência dos derivados de mais alta ordem envolvidos.

Por exemplo,

na equação a seguir,

[math]\frac{d^{2}y}{dx^{2}}+3\frac{dy}{dx}+2y=0[/math]

Ordem: 2, grau: 1.

Assim, a equação acima é de segunda ordem e primeiro grau.

Então, onde está a definição errada ou incompleta?

Deixe-me dizer-lhe que, embora a definição de ordem acima esteja completa, a de grau não é!

Deixe-me ilustrar isso com a ajuda de outro exemplo.

Você pode, de acordo com a definição acima de

grau

determine o grau da seguinte equação diferencial.

[math]\large\boxed{\sin\left(\frac{d^{2}y}{dx^{2}}\right)+e^{5\frac{dy}{dx}}-3\cos\left(x^{3}\frac{d^{3}y}{dx^{3}}\right)=0}[/math]

Você não pode.

A rigor, a definição de

grau

, como sugeri, ou a que estamos acostumados é

inexpressivo e carece de precisão matemática.

De fato, eu gostaria de enfatizar neste ponto que

pode-se falar sobre o grau de uma equação diferencial quando ela pode ser expressa como um polinômio nas derivadas, ou seja, quando o DE pode ser expresso como uma soma do número finito de termos igualado a 0, onde cada termo é um produto finito da Formato

[math]f(x,y)\left(\frac{dy}{dx}\right)^{n_{1}}\left(\frac{d^{2}y}{dx^{2}}\right)^{n_{2}}...[/math]

,

[math]f(x,y)[/math]

sendo a função de x, y (pode ser uma constante ou simplesmente uma função de x, y apenas, mas não envolvendo derivadas) e

[math]n_{1},n_{2},...[/math]

sendo números inteiros não negativos (desde que, pelo menos, uma derivada de alguma ordem em pelo menos um desses termos sobreviva).

Por exemplo,

[math]x\left(\frac{d^{2}y}{dx^{2}}\right)^{3}\frac{dy}{dx}-5e^{x}\left(\frac{d^{2}y}{dx^{2}}\right)+ylog(x)=0[/math]

e

[math]2logx\left(\frac{dy}{dx}\right)^{2}+7cosx\left(\frac{d^{2}y}{dx^{2}}\right)^{4}\left(\frac{dy}{dx}\right)^{7}+xy=0[/math]

estamos

DE expressos em polinômios em derivados (que são evidentemente de grau 3 e 4, respectivamente)

Portanto, é muito importante notar que o conceito de grau não pode ser atribuído a todas as equações diferenciais.

Por exemplo,

[math]e^{\frac{dy}{dx}}+\sin\left(x\frac{d^{2}y}{dx^{2}}\right)+\cos\left(\frac{d^{3}y}{dx^{3}}\right)+7xy=0[/math]

tem

nenhum grau.

É uma tarefa extremamente difícil, mais ainda nesse nível, concluir se uma determinada equação diferencial pode ser expressa como um polinômio nas derivadas envolvidas.

Portanto, é extremamente importante observar esse ponto.

Espero ter sido claro na minha abordagem.

Obrigado pela leitura E continue explorando esse belo assunto de matemática é divertido !!! :)