Qual é a diferença entre nos gráficos das equações f = x + y e f = x + iy?

E se

[math]F(x,y)=x+y \in R^{2}[/math]

, então obviamente é um avião em

[math]R^{3}[/math]

. Agora, se você tem uma função complexa

[math]F^{'}(w,iv)=x+iy \in C[/math]

então o gráfico da função está em

[math]C^{2}[/math]

ou

[math]R^{4}[/math]

, Porque

[math]C^{n}[/math]

é idêntico a

[math]R^{2n}[/math]

, Observe que

[math]C[/math]

em si é um objeto bidimensional chamado

Esfera de Riemann

. Portanto, quando sua função complexa usa apenas um argumento, você pode desenhá-la

[math]R^{2}[/math]

ou em

[math]C[/math]

. Agora, quando sua função complexa recebe 2 variáveis, seu gráfico está em

[math]R^{4}[/math]

que você não pode visualizar de maneira fácil. Mas você sempre pode fazer um truque e plotá-lo como dois gráficos cada

[math]R^3[/math]

. Você apenas plota a parte real e imaginária separadamente. Por exemplo, se você planejar

[math]F^{'}[/math]

como a função de

[math](w,v,x)[/math]

e outro enredo com

[math]F^{'}[/math]

como a função de

[math](w,v,y)[/math]

então você recebe dois aviões

[math]R^{3}[/math]

. Existem muitas maneiras de visualizar isso, mas é claro, para realmente saber como é que você precisa viver no espaço quadridimensional.

http://www.wolframalpha.com/input/?i=x%2Biy

Se você está falando de verdade

[math] x, y [/math]

, então os dois são diferentes em dimensões. Embora exista um isomorfismo simples entre

[math] \mathbb{R} \times \mathbb{R} [/math]

e

[math] \mathbb{C} [/math]

, a

com valor real

função

[math] f(x,y) = x+y [/math]

não é isomorfo ao

valor complexo

função

[math] g(w) = w [/math]

, Onde

[math]w = x+iy[/math]

. O primeiro é um avião em

[math] \mathbb{R}^3 [/math]

enquanto o último é um avião em

[math] \mathbb{C}^2, [/math]

que é isomórfico para

[math] \mathbb{R}^4 [/math]

, um espaço vetorial quadridimensional. Como você perguntou sobre os gráficos, é melhor discutir as funções como um componente adicional:

[math] (x, y, z= f(x,y))[/math]

e

[math] (x + iy, w= x+iy ) \cong (x, y, x, y)[/math]

onde o segundo e o quarto componentes são eixos imaginários. Vamos fazer um exemplo.

Considere o ponto

[math] (x,y) = (3,4) [/math]

. A função

[math] f(x,y) [/math]

é igual a 7, enquanto

[math] g(z) [/math]

gera um número complexo cuja magnitude é 5, mas tem dois componentes

[math] Re(g(z)) = 3, Im(g(z)) = 4 [/math]

. Este último codifica mais informações contendo uma parte real e imaginária. Por exemplo, você pode alterar o

[math] y- [/math]

valor sem afetar o terceiro componente.

O gráfico

[math] (x, y, f(x,y)) [/math]

é um plano bidimensional sentado em um espaço vetorial tridimensional. Além disso, seu alcance é toda a linha real. É descrito exclusivamente por seu vetor normal unitário (e pelo fato de passar a origem), ou seja,

[math]\left(\frac{1}{\sqrt{6}}, \frac{1}{\sqrt{6} }, -\frac{2}{\sqrt{6}} \right)[/math]

. Enquanto o gráfico de

[math](x+iy, w = x+iy) \cong (x,y,x,y) [/math]

é um plano bidimensional (porque o kernel possui a dimensão dois) sentado em um espaço vetorial quadridimensional descrito pelo vetor normal unitário

[math] \left( \frac{1}{2}, \frac{1}{2}, -\frac{1}{2}, -\frac{1}{2}\right) [/math]

. O alcance dessa função é todo o plano complexo ou, se você preferir, todos os

[math] \mathbb{R}^2. [/math]

Então, pelo menos, há alguma diferença. Como não conheço uma maneira fácil de visualizar o espaço quadridimensional, não posso fazer muito mais.