Qual é a diferença entre "travelling" e "travel" nas minhas frases?

Cada um está correto, mas cada um significa algo ligeiramente diferente.

A sentença do seu professor se refere a viajar e implica que você falará sobre o ato real de se envolver em uma viagem, no sentido de se mover de um ponto para outro.

“Vamos falar de viagem” implica uma discussão sobre o assunto geral da viagem, nesse sentido comumente destinado a visitar locais distantes e frequentemente estrangeiros (em oposição aos detalhes da realização do ato de viajar).

A última frase (viagem) é mais usada do que a primeira (viagem) quando usada como substantivo.

Essa é uma generalização ampla, mas acho que chega ao cerne da diferença entre os dois substantivos.

O foco da viagem é o destino. O foco de viajar é a jornada.

Viajar nesse contexto evocará pensamentos sobre o turismo e seu foco no que você experimentará depois de viajar para seus destinos.

Viajar evocará pensamentos da jornada, como o prazer da longa viagem de trem pelas montanhas.

No entanto, a sobreposição de significados é extensa o suficiente para que, na maioria dos contextos, ambos sejam entendidos.

"Viajar" ou "viajar" está correto. As respostas que fazem distinções entre os dois são, IMHO, interpretações pessoais. Tecnicamente, qualquer palavra pode ser um verbo ou um substantivo (ou - pelo menos no caso de "viajar" - um gerúndio, que é uma forma verbal usada como substantivo), dependendo de como é usada em uma frase. Pode ser interessante perguntar ao seu professor se ele acha que há uma distinção entre “viajar” e “viajar” e, se houver, qual é essa distinção.

Ambos estão bem, mas há uma diferença sutil no significado.

É mais provável que você ouça a versão do seu professor. Nesse caso, estaríamos falando de um ato, o ato de viajar, algo que quase todo mundo faz de uma vez ou de outra. Por exemplo, "viajar pode ser muito divertido".

Na sua versão, estaríamos falando de uma noção, a ideia ou conceito de viagem. Esta é uma conversa um pouco mais acadêmica. Por exemplo, "viajar permite que as pessoas experimentem outros modos de vida".

Mas, como eu disse, a diferença é sutil, e você pode trocar uma pela outra sem que a maioria das pessoas perceba.