Qual é a diferença entre funções contínuas e funções analíticas?

Toda função analítica, definida como o limite de uma série de potências convergentes, é contínua. Também é suave, pois todos os seus derivados existem e sua série Taylor é a mesma série de potência.

Existem funções suaves positivas que não são constantes, todas cujas derivadas em 0 são 0. Sua série de Taylor converge, mas para uma função constante, não a original. Existem funções suaves cuja série Taylor não converge. Existem funções contínuas sem derivadas, em qualquer lugar.

Sempre que você quiser entender qual é a diferença entre dois objetos matemáticos, comece com suas definições.

Para limitar o escopo da discussão, consideremos apenas funções reais de variáveis ​​únicas. Uma definição de uma função contínua pode ser estruturada de várias maneiras:

[math]\epsilon-\delta[/math]

notação, notação de limite, através de alterações ou seqüências infinitesimalmente pequenas.

Em um

[math]\epsilon-\delta[/math]

notação de uma função

[math]f(x)[/math]

é contínuo em um ponto

[math]x_0[/math]

do seu domínio, se for para um número real

[math]\epsilon > 0[/math]

sempre existe outro número real

[math]\delta > 0[/math]

such that from [math]|x - x_0| < \delta[/math] it follows that [math]|f(x) - f(x_0)| < \epsilon[/math].

Em uma notação de limite: uma função

[math]f(x)[/math]

é contínuo em

[math]x = x_0[/math]

E se

[math]\displaystyle \lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0) \tag{1}[/math]

Se (1) não aguentar,

[math]f(x)[/math]

é dito ser descontínuo em

[math]x = x_0[/math]

. Observe que normalmente quando um limite de uma função é calculado

[math]x[/math]

não assume o valor de

[math]x_0[/math]

- só precisa estar suficientemente perto dele. Mas, no caso de uma função contínua (e somente nesse caso), é irrelevante se

[math]x[/math]

, while tending to [math]x_0[/math], takes on that value or not.

De maneira um pouco mais intuitiva, podemos pensar na continuidade de uma função ao rastrear seus valores de saída enquanto fazemos a transição de um valor de entrada para outro. Por exemplo, a transição de

[math]x_0[/math]

para algum outro valor

[math]x[/math]

pode ser representado como

[math]\Delta x_0 = x - x_0[/math]

. Então, argumentamos, o novo valor de saída de uma função

[math]y = f(x) = f(x_0 + \Delta x_0)[/math]

será diferente de

[math]y_0 = f(x_0)[/math]

por:

[math]\Delta y_0 = y-y_0=f(x) - f(x_0) = f(x+\Delta x_0) - f(x_0) \tag*{}[/math]

e afirmamos que, para uma função

[math]f(x)[/math]

ser contínuo em

[math]x = x_0[/math]

é necessário e suficiente para

[math]\Delta y_0 \to 0[/math]

Como

[math]\Delta x_0 \to 0[/math]

.

No entanto, na linguagem das sequências: se houver alguma sequência de

[math]x_i[/math]

do domínio da função:

[math]x_1, x_2, \dots , x_n, \dots \tag*{}[/math]

que converge para

[math]x_0[/math]

a sequência correspondente dos valores da função:

[math]f(x_1), f(x_2), \dots , f(x_n), \dots \tag*{}[/math]

converge para

[math]f(x_0)[/math]

então

[math]f(x)[/math]

é dito ser contínuo em

[math]x_0[/math]

.

O próximo conceito para se entender é um derivado de uma função e o fato de que esses derivativos têm ordem: primeira derivada, segunda derivada, terceira derivada e assim por diante.

Por fim, diz-se que uma função é analítica se sua série de Taylor sobre

[math]x_0[/math]

converge para essa função em algum bairro para qualquer

[math]x_0[/math]

do seu respectivo domínio. Parece um pouco estranho, mas - o estabelecimento de uma analiticidade de uma função requer uma prova.

A série Taylor envolve derivadas de ordens arbitrárias. Exemplos de funções analíticas:

[math]\exp(x), \sin(x), \cos(x)[/math]

.

Em termos da implicação IF p THEN q: se uma função é diferenciável ENTÃO ela é contínua (um teorema provado no início de um curso de análise). Observe que o inverso não é verdadeiro: o fato de uma função ser contínua não garante que seja diferenciável (em todos os pontos de seu domínio). Um exemplo clássico é

[math]f(x) = |x|[/math]

- enquanto contínuo

[math]\mathbb{R}[/math]

, essa função não tem uma derivada em

[math]x = 0[/math]

. É claro que existem outros exemplos mais exóticos (abordados aqui no Quora) como uma curva patológica conhecida como floco de neve de Koch - é contínua em qualquer lugar, mas em nenhum lugar diferenciável.

Por outro lado, uma função analítica é infinitamente diferenciável, possui derivadas de qualquer ordem que desejamos e, portanto, é garantida como contínua.