Qual é a diferença entre dy, del y e delta y?

Delta y e dy são iguais, dy / dx é a diferenciação de y wrt x ou dx / dy é a diferenciação de x wrty

Enquanto del y é o diferencial parcial de x, onde diferenciamos apenas um de cada vez, mantendo as outras variáveis ​​constantes e diferenciamos parcialmente todos para descobrir quem é o diferencial.

Bem, a resposta é bem simples.

dy denota o diferencial total da variável (função) y.

dely, como tal, não tem significado. O operador del é sempre referente a alguma outra variável independente. Portanto, del (y) / del (x) fornece o diferencial parcial de primeira ordem de y em relação à variável independente 'x'.

delta é o operador de diferença. Portanto, delta y fornece a alteração em y. Essa mudança é finita. Enquanto dy dá a mudança que é infinitesimalmente pequena. O operador delta é geralmente usado para variáveis ​​discretas, enquanto o operador diferencial é usado para variáveis ​​contínuas.

Todas as três são maneiras de conceituar a idéia de uma diferença de valores. As cartas

[math]d, \partial, \Delta[/math]

são todas abreviações para "diferença" e são usadas para diferentes propósitos.

Todos eles assumem que

[math]y[/math]

é, pelo menos implicitamente, uma função de uma ou mais variáveis; portanto, é possível falar sobre

[math]y[/math]

em "dois lugares diferentes" para encontrar a diferença entre eles

[math]\Delta y[/math]

representa a diferença em

[math]y[/math]

quando avaliado em dois pontos diferentes. Por exemplo, para calcular a inclinação de uma linha, você tem

[math]y(p)[/math]

, Onde

[math]p[/math]

é um ponto e

[math]y[/math]

is (conventionally) the y-coordinate of that point in some Cartesian coordinate system. In that situation, [math]\Delta y[/math] would refer to [math]y(p_2) - y(p_1)[/math], for some given pair of points, usually known by by context.

[math]\Delta y[/math]

também é usado quando

[math]y = (y_1, y_2, y_3, \ldots)[/math]

é uma sequência de valores e

[math]\Delta y[/math]

se referiria à "sequência de diferenças"

[math]\Delta y = (y_2-y_1,y_3-y_2, \ldots, y_{n+1}-y_n, \ldots )[/math]

. Isso é usado no “cálculo das diferenças finitas”, que é um análogo discreto do cálculo normal. Nesse caso,

[math]\Delta y[/math]

acts as a function (from integers) in much the same way that [math]y[/math] does.

[math]dy[/math]

representa a diferença em

[math]y[/math]

quando avaliada em dois pontos infinitamente próximos - ou, se você quiser ser técnico, o limite de

[math]\Delta y[/math]

quando a diferença entre os pontos for zero. Normalmente, esse diferencial é usado em uma proporção com um diferencial diferente, para obter uma derivada como

[math]\frac{dy}{dx} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x}[/math]

.

[math]dy[/math]

é comumente usado no cálculo de variável única, mas tem outros usos (que mencionarei mais adiante). A derivada de uma função é outra função; assim, no caso das diferenças finitas, a diferenciação leva funções a funções.

[math]\partial y[/math]

é usado quando

[math]y[/math]

depende de várias variáveis ​​e é sempre usado em referência a uma variável explícita, como em

[math]\frac{\partial y}{\partial x}[/math]

. Esse uso implica que

[math]y(x,z,\ldots,w)[/math]

é uma função de múltiplas variáveis, não apenas

[math]x[/math]

. It refers to the partial differential, in much the same way as [math]dy[/math] refers to the (total) differential. It is defined basically as “take the derivative [math]\frac{dy}{dx}[/math], assuming [math]z, \ldots, w[/math] are all held constant”. Once again, the partial derivative of a multivariate function is another multivariate function.

Derivadas parciais implicam uma derivada “total”, que é uma combinação de todas as derivadas parciais de maneira sensata. O derivado total é representado por

[math]dy[/math]

, trazendo-nos de volta à notação anterior. Vale ressaltar que uma derivada parcial de uma função de variável única é igual à derivada total, portanto, o uso de

[math]\partial y[/math]

ocorre apenas ao fazer cálculo multivariado.

Você também tem

[math]\nabla[/math]

, que é um operador diferencial multivariável que representa o "vetor"

[math]\nabla y= \frac{\partial y}{\partial x}, \frac{\partial y}{\partial z}, \frac{\partial y}{\partial w})[/math]

, e é usado de várias maneiras em funções multivariadas. E se

[math]y[/math]

retorna um número real e, em seguida,

[math]\nabla y[/math]

é o gradiente de

[math]y[/math]

, a vector-valued multivariate function that points in the direction of greatest change; if [math]y[/math] is vector-valued, then [math]\nabla \cdot y[/math] is the divergence of [math]y[/math], a single value multivariate function that relates to how much is “flowing out” of a given point. There’s also [math]\nabla \times y[/math], which is the curl of [math]y[/math], and is a vector-valued multivariate function that shows how much the function [math]y[/math] is “flowing around” a given point.