Qual é a diferença entre contínuo e diferenciável

No que diz respeito à minha intuição, eu sei que funções contínuas apenas têm a propriedade simples de que não têm "saltos" nelas ou que não mudam "demais".

Embora as funções diferenciáveis ​​exijam a propriedade mais forte, as funções mudam de maneira "suave", isto é, sem cantos afiados, etc.

Agora existem muitas funções contínuas que não passam por transições suaves e, no processo, elas se tornam distintas em nenhum lugar, por exemplo, um

Curva de Manto Branco

.

pode ser construído usando uma série infinita de ondas triangulares como esta

e se o somatório for assumido, ou seja, Blanc (x) = \ displaystyle \ sum_ {n = 0} ^ {\ infty} \ dfrac {s \ left (2 ^ {n} x \ right)} {2 ^ {n} } teremos algo assim

Existem também outros exemplos comuns, como

Função Weierstrass

,

Processo de salsicha

,

Floco de neve Koch

etc.

Este é o meu favorito

E o segundo caso, ou seja, "funções diferenciáveis ​​cuja derivada não é nem de longe contínua", não é possível de acordo com o teorema do limite de Baire, que afirma que

Se uma sequência de funções contínuas f_ {n}: R → R converge no sentido do ponto para uma função f, f é contínua em um subconjunto denso de R

f '(x) = \ estilo de exibição \ lim_ {h \ to 0} \ frac {f (x + h) -f (x)} {h} = \ estilo de exibição \ lim_ {n \ to \ infty} n \ left [ f \ esquerda (x + \ frac {1} {n} \ direita) -f (x) \ direita]

portanto, o teorema de Baire não é aplicável neste caso.

Na teoria da medida, você pode definir uma determinada função chamada

Função de Volterra

que é diferenciável em qualquer lugar, mas sua derivada é descontínua em um conjunto de medidas positivas, não apenas em um único ponto. Pode ser definido assim.

f (x) = \ begin {cases} x ^ 2 \ sin (1 / x) & \ mbox {if} x \ neq 0 \\ 0 & \ mbox {if} x = 0. \ end {cases} \ tag * {}

você confere

aqui.