Qual é a diferença entre as definições formais e informais de indução matemática?

Uma definição informal de prova por indução matemática é dada pelo seguinte tratamento verbal:

Indução matemática

Uma definição formal de prova por indução matemática é dada por:

Se (1) quando uma afirmação for verdadeira para um número natural

n

=

k

, e é verdade para o seu sucessor,

n

=

k

+ 1;

e (2) a afirmação é verdadeira para

n

= 1;

então a afirmação será verdadeira para todo número natural

n

.

Para mais detalhes, consulte:

https://www.maths.ox.ac.uk/system/files/attachments/induction_0.pdf

Eu acho que você precisaria olhar os axiomas de Peano para a definição formal, os axiomas de Peano são a base na qual construímos nossos sistemas numéricos, primeiro com os números naturais, depois com números inteiros etc. Uma das construções que usamos é a indução, para que possamos construir 3 de 2, 4 de 3, etc. Esse é o primeiro uso da indução, mas o princípio pode ser aplicado de várias outras maneiras.

(Veja a seção Formalização - existe uma fórmula lógica para indução

Indução matemática - Wikipedia

)

Quanto à definição de informações, se você pode provar uma proposição P (n) para algum valor base (digamos 0), e você pode provar a proposição P (n + 1) de P (n), a proposição é verdadeira para todos N> = 0.

A definição formal do princípio da indução matemática é geralmente declarada na linguagem da teoria dos conjuntos da seguinte forma:

∀𝑃⊂𝑁: [0∈𝑃∧∀ [𝑥∈𝑃: 𝑆 (𝑥) ∈𝑃] ⟹𝑃 = 𝑁] ∀P⊂N: [0∈P∧∀ [x∈P: S (x) ∈P ] ⟹P = N]

Onde

𝑆 (𝑥) S (x)

é a imagem de

𝑥x

sob a função sucessora usual

𝑆S

. Ao invés de

𝑆 (𝑥) S (x)

, costumamos escrever

𝑥 + 1x + 1

.

Pode não ser imediatamente óbvio o que isso tem a ver com provas por indução, que são usadas para provar que todo número natural tem uma certa propriedade de interesse. Um exemplo dessa propriedade seria que, para todos

𝑥∈𝑁x∈N

, temos

𝑥 ≠ 𝑥 + 1x ≠ x + 1

. Se deixarmos o

𝑃P

ser o conjunto de todos os naturais com a propriedade em questão, a definição acima nos diz que, para provar que

𝑃P

contém todos os elementos de

𝑁N

(ou seja, que

𝑃 = 𝑁P = N

), precisamos apenas provar:

  • 0∈𝑃0∈P
  • Se tivermos 𝑥∈𝑃x∈P, também teremos 𝑥 + 1∈𝑃x + 1∈P.

Não há necessidade de testar todos os elementos do

𝑁N

.

1 + 1 = 21 + 1 = 2