Qual é a diferença entre álgebra e geometria algébrica?

Parte da diferença é uma das perspectivas. Na álgebra do ensino médio, você está interessado no polinômio como membro de uma álgebra polinomial. Na geometria algébrica, você está interessado na estrutura geométrica do conjunto de elementos (em um fechamento algébrico) que satisfaz o polinômio. Isso leva à aplicação de técnicas topológicas e também algébricas.

No nível mais simples, há uma equivalência muito simples. Se A é uma álgebra sobre um anel comutativo R e se X é um conjunto de geradores para A (A próprio, por exemplo), existe um homomorfismo de anel canônico do anel polinomial R [X] para A. Se eu estiver os polinômios que desaparecem sob esse homomorfismo, então R [X] / I é isomórfico para A, e I é um ideal, o que significa que está fechado sob adição e também multiplicação por qualquer polinômio.

Então agora considere todos os mapas de X a R. (Pense nisso como um espaço vetorial de funções no conjunto X.) Todos os polinômios definem funções neste conjunto de mapas. Então agora considere todos os “vetores” v para os quais p (v) = 0 para todos os p em I; chame de V, uma "variedade". Se q é algum polinômio, podemos avaliar q em v, e isso define um homomorfismo de R [X] a R. Mas, de fato, define um homomorfismo de R [X] / I a R e, portanto, de A a R Portanto, os pontos de V “são” homomorfismos de A a R. (Veja se você pode ver como eles são “autovalores”.) Quando R é um campo algebricamente fechado e A não possui elementos nilpotentes, essa relação é uma bijeção.

Ambos os sujeitos podem ser incluídos no conceito de espaço em anel, que é um feixe de anéis em um espaço topológico. Cada conjunto aberto possui um anel, que se comporta como um anel de funções, no sentido de que existem mapas de restrição que levam o anel para um conjunto aberto ao anel para qualquer conjunto aberto dentro dele, da maneira coerente óbvia.