Qual é a diferença entre a derivada substancial e a derivada comum que você aprendeu no cálculo i?

Na 6ª edição de Anderson de Fundamentos de aerodinâmica, ele explica a derivada total com um exemplo físico. A derivada total possui um termo convectivo (com o ponto nabula V) e um termo temporal (com respeito parcial a t). Heres o exemplo físico.

Você está em uma caminhada e tropeça em uma caverna. Você decide entrar na caverna, mas, assim que entra na caverna legal, seu amigo dá um soco na sua cara com uma bola de neve. Assim, você sente duas fontes de frio. A primeira é da sua localização em mudança - entrando na caverna. A segunda é do seu amigo acertando você com a bola de neve naquele instante.

Assim, a temperatura é a variável da qual estamos obtendo a derivada total, e a caverna fornece o termo convectivo, e a bola de neve forma o termo temporal.

É frequentemente usado em aerodinâmica, pois consideramos um elemento fluido movendo-se em um fluxo (pense em um pequeno volume que você rastreia). O derivado substancial nos fala sobre isso

comovente

elemento. Se não estivesse em movimento, você poderia substituir a derivada substancial por apenas a parcial em relação ao tempo. Porém, como a partícula está se movendo, o termo convectivo é responsável pela mudança da propriedade entre os locais.

Sem uma definição, não tenho muita certeza do que você está falando. Parece http://en.wikipedia.org/wiki/Material_derivative, que é um derivado total mais alguma regra da cadeia. A definição típica do Calc I é responsável por apenas uma dimensão. O que eu acho que você tem são três dimensões espaciais e uma temporal. Então, você deve se lembrar de como o gradiente e a derivada total são definidos no Calc III.

No final, é apenas outra definição que é chamada de forma confusa. Não deixe que isso te atrapalhe. Certifique-se de entender a intuição e a motivação para a definição, bem como exemplos fáceis.

O derivado "substancial", também chamado derivado "total" ou derivado "convectivo", não é realmente um diferente

derivado

, é um derivado de um diferente

função

.

Deixei

λ (x, t) λ (x, t)

ser uma dada função do espaço e do tempo. Diferenciação de

λλ

em relação ao tempo, mantendo a variável de espaço fixa, produz a derivada de tempo parcial usual. Agora considere uma "função composta"

g (t) = λ (X (t), t) g (t) = λ (X (t), t)

ou seja, avaliamos

λλ

ao longo de curvas

X (t) X (t)

no espaço traçado por uma variável escalar

tt

.O derivado de

gg

é o derivado substancial (total, convectivo) de

λλ

. Assim, a derivada substancial é a derivada da composição das funções

λλ

e

XX

.

ex − 1≥xex − 1≥x

x∈Rx∈R