Qual é a diferença entre a derivada e a taxa média de variação?

Taxa de variação é a alteração de qualquer quantidade determinada em uma unidade de tempo. No caso de uma função com uma variável independente, a alteração do valor da função para a alteração da variável é denominada inclinação da função ou taxa de variação.

agora essa taxa de mudança ou inclinação da função é dada pela derivada da função ou (também chamada como) coeficiente diferencial.

Seja y = f (x) ef (x) seja contínuo e diferenciável para todos os valores de x.

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taxa média de variação

é a medida da mudança geral no valor de f (x) durante algum intervalo de x. Como de x = 0 ex = pi em um gráfico de y = f (x) = cos x + 2, começamos com um valor de f (0) = 3 à esquerda ef (pi) = 1 à direita . Portanto, nossa taxa média de mudança é (1 - 3) / (pi - 0) = -2 / pi.

A derivada é uma medida da taxa instantânea de mudança no valor de y por mudança em x, especificamente no ponto x, e é igual à inclinação da linha tangente à curva em x. É a inclinação instantânea para qualquer valor de x na curva f (x).

A derivada informa a taxa de variação em um valor x específico de uma função. Em outras palavras, se pegarmos o valor da derivada em x = 2 e o valor de f (2), poderíamos usar essas informações para encontrar a equação da linha tangente (uma linha que toca a função pai uma vez). A derivada informa a taxa instantânea de alteração. A taxa média de mudança informa a taxa de variação entre dois pontos e, se você adotasse esse valor, seria capaz de obter a equação da linha secante (uma linha que toca a função pai duas vezes). Em última análise, a diferença é que a derivada indica a taxa de variação em determinados pontos, o AROC indica a taxa de variação entre dois pontos distintos em uma curva. Para deixar mais claro o que isso significa, vamos assumir a função F (t), F (t) representa a distância que alguém percorreu em função do tempo. A velocidade é dada conforme a distância percorrida, quanto tempo leva para chegar lá. Portanto, se você assumisse a inclinação desta função, obteria um valor de velocidade específico. O AROC informaria a velocidade média que a pessoa estava viajando, digamos entre t = 2 min e t = 3 min. A derivada diria a velocidade exata em que eles estavam viajando a exatamente t = 2 min. Essa é a diferença e é por isso que a derivada é extremamente importante para poder descrever fenômenos físicos, pois muitas coisas dependem do tempo e determinar frequentemente a taxa na qual elas estão mudando é de profundo interesse para cientistas e engenheiros.