Qual é a diferença entre a cruz b e b cruza geometricamente

Intuitivamente, Dot Product significa quanto um vetor aponta na direção do outro vetor. Produto cruzado significa quanta área de paralelogramo os dois vetores ocupam.

Como você pode ver na imagem abaixo, a projeção ortogonal de \ vec A em \ vec B tem comprimento | \ vec A | \, \ cos \ theta.

Agora, \ vec A \ cdot \ vec B = | \ vec A | \, | \ vec B | \, \ cos \ theta, o que significa que estamos dimensionando o vetor \ vec B por um fator igual ao comprimento do projeção de \ vec A em \ vec B.

Por outro lado, também podemos interpretar | \ vec A | \, | \ vec B | \, \ cos \ theta como | \ vec A | \, (| | vec B | \, \ cos \ theta), portanto que o vetor \ vec A está sendo escalado por um fator igual ao comprimento da projeção de \ vec B em \ vec A.

Essas interpretações são um pouco forçadas, e não são tão úteis para nossa intuição. No entanto, eles nos ajudam a calcular a projeção ortogonal de um vetor em outro. Observe que a projeção ortogonal de \ vec A em \ vec B é \ dfrac {\ vec A \ cdot \ vec B} {| \ vec B |}.

Indo além da mesma maneira, também podemos calcular o ângulo entre os dois vetores como

\ cos ^ {- 1} \ left (\ dfrac {\ vec A \ cdot \ vec B} {| \ vec A | \, | \ vec B |} \ right)

. Isso é especialmente importante, pois nos diz que dois vetores são ortogonais (mutuamente perpendiculares) se o produto escalar for

0 0

. Isso, de fato, se torna o

definição

de vetores ortogonais quando consideramos espaços vetoriais gerais com uma versão mais geral do produto escalar (chamada de

produto Interno

) Por exemplo, podemos definir

ortogonalidade de funções

.

O produto cruzado tem uma interpretação geométrica muito mais simples. A magnitude do produto cruzado de dois vetores é a área do paralelogramo com os dois vetores como lados adjacentes, e a direção é aquela perpendicular a ambos os vetores (onde a direção exata é decidida pelo

regra da mão direita

) Na física, o produto cruzado é particularmente útil quando há algum objeto em rotação (um corpo rígido, um fluido circulante, um campo magnético ou elétrico etc.) com um eixo de rotação - então geralmente há uma quantidade associada importante (

torque

,

ondulação

, etc.) definidos usando o produto cruzado, de modo que a direção seja a mesma que a do eixo de rotação.