Qual é a diferença conceitual entre equações derivadas e diferenciais?

A derivada de uma função é basicamente a taxa de alteração dessa função em relação à variável independente dessa função. Por exemplo, quando dizemos que a derivada de

x2x2

é

2x2x

estamos basicamente dizendo que a taxa de mudança da função

y = f (x) = x2y = f (x) = x2

em relação a

xx

é

2x2x

.

Agora, antes de chegar às equações diferenciais, vamos falar sobre equações algébricas normais sobre as quais você já deve ter aprendido. O que você fez para resolver equações algébricas? Você descobriu um valor ou número que satisfaz a equação quando é substituída no lugar da variável. O conceito de equações diferenciais é praticamente o mesmo, a única diferença é que sua tarefa não é encontrar valores ou números como tal, sua tarefa é encontrar

funções.

Essas funções são tais que satisfazem a equação original.

Por exemplo, se você tiver que resolver

Dydx − 3x2 = 2xdydx − 3x2 = 2x

[⟹dydx = 2x + 3x2] [⟹dydx = 2x + 3x2]

você procura uma função

y = f (x) y = f (x)

tal que satisfaça a equação dada. Não é difícil ver que

f (x) = x2 + x3 + Cf (x) = x2 + x3 + C

satisfaz a equação. Portanto, essa função é uma solução da equação diferencial fornecida.

Se você perguntasse qual é a diferença entre uma coordenada de um ponto e uma equação, você teria achado que é fácil responder… ..

Coordenada (x, y) é a posição exata do ponto no plano (por uma questão de simplicidade, estou usando apenas o sistema 2D) enquanto uma equação define um conjunto de pontos (coordenadas) que pertencem a uma curva específica (ou uma linha) .

Pois, vamos considerar uma família de todos os pontos pertencentes a uma linha representada pela equação:

x + y - 2 = 0

Nesta equação, 'x' e 'y' são variáveis ​​que variam com todos os pontos da reta. Portanto, esta equação está definindo uma linha através dos valores de "coordenadas".

Mas em x = 1 e y = 1 (isto é, em um ponto específico), ele possui valores particulares de sua coordenada (1,1).

Conceito semelhante é aplicável a equações diferenciais.

Considere uma equação diferencial:

(dy / dx) ^ 2 + dy / dx -2 = 0

Aqui, uma família de todos os pontos é definida pela equação, mas usando sua inclinação em pontos diferentes. A curva tem inclinação diferente em pontos diferentes. Assim, todos os pontos com a inclinação que satisfaz a equação são a parte da curva.

Mas, em determinado momento, novamente, temos uma inclinação específica da linha.

Aqui, você entendeu o conceito de derivada (dy / dx) de uma curva ou linha (caso contrário).

A inclinação de uma linha é dada pela razão entre a mudança da coordenada y e a mudança da coordenada x;

m = (y1 - ye) / (x2 - x1)

[nota: esta imagem não está de acordo com a equação dada]

Assim, m = ∆y / ∆x

No caso de uma curva, esse valor muda continuamente, portanto, diferente para pontos diferentes. Portanto, cálculos semelhantes não funcionarão lá.

Temos que considerar uma parte muito pequena, de modo que ela permaneça quase constante.

Assim, para uma parte muito pequena; ∆x-> 0, -y-> 0

Agora, m = dy / dx

Temos que desenhar a tangente até o ponto em que você deve encontrar a inclinação da curva (que obviamente se tornará uma linha reta). A inclinação da tangente é a inclinação da curva no ponto. Já concluímos acima que uma linha reta tem uma inclinação constante.