Qual a diferença entre continuidade e limite de uma função?

Existem muitas visões de continuidade e, mas é muito instrutivo apresentar como nasceu e com que finalidade.

A partir do final do século 18, houve um esforço para provar que qualquer polinômio tem uma raiz complexa. Por um procedimento inteligente, Euler mostrou que podemos reduzir o problema para mostrar que qualquer polinômio de grau ímpar tem uma raiz real.

Agora estamos chegando perto. Ao mesmo tempo, e provavelmente nunca sabemos qual foi o primeiro, Bolzano e Cauchy provaram o seguinte teorema:

Teorema

Se os valores de uma função “contínua”

[math]f(x), [/math]

definido em um intervalo fechado

[math][a,b][/math]

, nomeadamente

[math]f(a)[/math]

e

[math]f(b)[/math]

são diferentes de zero e de sinais contrários, ou seja,

[math]f(a)\cdot f(b)<0[/math]

, então há um ponto intermediário

[math]c[/math]

, Onde

[math]a< c < b[/math]

de modo a

[math]f(c)=0[/math]

.

Prova

Agora precisamos olhar para a idéia de prova que é relevante. Você divide seu intervalo de duas metades e, em cada uma das duas metades, verifica se a condição dos sinais contrários é satisfeita. Aqui você pode ter dois casos: ou a função é zero no ponto central e terminamos ou temos pelo menos uma das metades que satisfaz a condição de sinais contrários (se você tiver os dois, poderá seguir a convenção de que aceita deixou um).

Como resultado, você tem uma sequência de intervalos

[math] [a_n,b_n] [/math]

de comprimento

[math](a-b)/2^n. [/math]

Se nenhum dos pontos do meio era um ponto zero, no final eles colapsariam em um único ponto, digamos

[math]\xi[/math]

. O que acontece neste momento? E se

[math]f(\xi)=0[/math]

, então terminamos.

Então, queremos excluir as outras duas alternativas:

[math]f(\xi)< 0[/math]

e

[math]f(\xi)>0[/math]

. Eles podem ser excluídos se assumirmos que a função tem a propriedade de que seus valores em uma vizinhança ao redor de um ponto se tornem tão próximos quanto desejamos se restringirmos suficientemente o raio da vizinhança. Esta é a definição de continuidade. Intuitivamente, diz que, em um ponto de continuidade, uma função não possui lacunas, como a função step,

[math]f(x) =-1[/math]

para

[math]x<0[/math]

e

[math]f(x)=1[/math]

para

[math]x|ge 0[/math]

, nem tem um comportamento indefinido como a função

[math]f(x) = \sin (1/x)[/math]

às

[math]x=0[/math]

.

Demorou meio século para formalizar o que eu disse acima e essa formalização tornou impenetrável para as pessoas comuns.

Uma resposta anterior apresentou o

definição formal

. Eu só quero fazer a correção de que uma função pode ser contínua em um único ponto, como a função de Dirichlet

[math]f(x)=x[/math]

para

[math]x\in \mathbb{Q}[/math]

e

[math]0[/math]

caso contrário, que é contínuo apenas em

[math]x=0[/math]

.

Outra resposta deu a analogia de uma função contínua com uma corda. As pessoas parecem imaginar funções contínuas como cordas, mas isso não é uma boa analogia, devido a algumas funções selvagens, como

[math]f(x)=x\sin(1/x)[/math]

para

[math]x\ge 0 [/math]

e

[math]0[/math]

para

[math]x=0[/math]

. A função é contínua em

[math][0,1] [/math]

mas tem um comprimento infinito!

A definição formal separava a noção do limite de uma função em um ponto e definia uma função como contínua se o limite coincidir com o valor da função.

Como resumo, podemos obter a intenção da noção de continuidade e limite pela engenharia reversa do que hoje é conhecido como o

Teorema do valor intermediário

:

Se uma função contínua,

[math]f[/math]

, definido em um intervalo

[math][a, b][/math]

e é contínuo lá, então leva qualquer valor entre

[math]f(a)[/math]

e

[math]f(b)[/math]

em algum momento dentro do intervalo.

O teorema intermediário do valor não generaliza para 2 funções de variáveis, mas a continuidade e os limites podem ser generalizados para o ramo da matemática chamado

topologia

.

Finalmente, como resposta à pergunta discutida, aqui está minha definição preferida de continuidade: Uma função

[math]f [/math]

é contínuo no ponto

[math]x=x_0[/math]

se e somente se para qualquer sequência

[math]x_n[/math]

com

[math]{\displaystyle \lim_{n\rightarrow\infty}}x_{n}=x_0[/math]

, temos

[math]{\displaystyle \lim_{n\rightarrow\infty}}f(x_{n})=f\left({\displaystyle \lim_{n\rightarrow\infty}}x_{n}\right) [/math]

Simplesmente, uma função é contínua se comuta com limites!

Para os mais jovens, aqui está um experimento divertido para criar alguma intuição. Comece do meio da sua sala de estar com uma corda comprida na mão. Onde quer que você vá, onde a corda é capaz de seguir é uma rota contínua pelo seu espaço (sala de estar). As paredes que bloqueiam o progresso, mesmo com folga suficiente na corda para continuar, são limites de sua função (caminhar na sala de estar).

Limite: O limite da função f (x) em x = a é l se

[math]\lim_{x \to a^{+}} f(x) = \lim_{x \to a^{-}} f(x) = l[/math]

Quando x se aproxima do valor a, f (x) se aproxima do valor l. Não nos importamos com o valor exato em x = a.

Continuidade:

A função

[math]f(x)[/math]

é contínuo se.

[math]\lim_{x \to a} f(x) = f(a)[/math]

Portanto, para continuidade, o limite deve existir e deve ser finito. E o valor funcional deve ser igual ao limite.

Portanto, há mais requisitos para continuidade.

  • O limite da função contínua existe em todos os pontos.
  • A função cujo limite existe em todos os pontos pode não ser contínua.

O limite da função existe em todos os pontos, incluindo x = c.

A função não é contínua em x = c, portanto, em geral.