Para um matemático, existe alguma diferença entre 4 + 5 e 5 + 4?

A pergunta que você está fazendo, há alguma diferença entre

[math]4+5[/math]

e

[math]5+4[/math]

, depende do tipo de

[math]4+5[/math]

e

[math]5+4[/math]

. Eles são expressões ou são números?

A expressão

[math]4+5[/math]

não é o mesmo que a expressão

[math]5+4[/math]

. O número

[math]4+5[/math]

é o mesmo que o número

[math]5+4[/math]

.

Até você ter uma prova de que o número

[math]4+5[/math]

é igual ao número

[math]5+4[/math]

, você os trata como coisas diferentes; depois de ter uma prova (é um caso especial de comutatividade de adição), você sabe que são números iguais. Mesmo assim, como expressões, ainda são diferentes.

A mesma sequência de símbolos pode se referir a coisas diferentes. Em geometria

[math]ABC[/math]

poderia se referir ao ângulo

[math]ABC[/math]

ou o triângulo

[math]ABC[/math]

. Quando uma expressão é ambígua, é útil precedê-la por seu tipo.

A resposta é sim e não, simultaneamente !

Por quê? Como a questão carece de rigor e as informações fornecidas são insuficientes para um matemático aplicar a teoria dos grupos. Antes de realmente explicar como, deixe-me explicar rapidamente o que é um grupo.

/ * pule se você já sabe * /

Um grupo (S, *) significa um conjunto S com uma operação como "*" definido nele.

E satisfaz quatro axiomas:

1. Encerramento: pegue dois elementos de S, aplique a operação "*" e você obterá novamente um elemento de S

2. Associatividade: Se a, b, c são elementos em S, então (a * b) * c = a * (b * c)

3. Existência de um elemento de identidade: Se a é um elemento de S, existe um elemento i em S tal que a * i = a

4. Existência de um elemento inverso: Se a é um elemento de S e i é a identidade, existe um elemento em S tal que a * b = i

Ok, de volta à pergunta.

Então, o problema com a pergunta é:

a) Você não especificou o conjunto ao qual 4 e 5 pertencem.

b) Como o operador + é definido no conjunto ao qual 4 e 5 pertencem.

Mas não se preocupe !! Como um matemático típico, vou considerar dois casos diferentes.

CASO 1: Deixe 4 e 5 pertencerem ao conjunto de números inteiros Z e + é definido como um operador de adição usual. [(Z, +) é um grupo, verifique você mesmo]

Trivialmente pelo nosso conhecimento da matemática do ensino médio, é evidente que

4 + 5 = 9 = 5 + 4

Portanto, NÃO, não há diferença.

Chato certo ?! Então, vamos olhar para um caso mais sexy.

CASO 2: Lembre-se de i, j, k os vetores "hipster" da sua aula de ensino médio sobre vetores? sim! certo.

Suponha que eu pegue um conjunto A definido da seguinte maneira:

Legal?!

Ok, agora vamos definir a operação + no conjunto A da seguinte maneira:

Você pode perguntar ... como posso definir + sozinho? Bem, mah set mah rulez! Brincadeirinha, já que você não definiu a operação +, portanto, a teoria dos grupos me permite fazê-lo. Claramente, você pode verificar se (A, +) é um grupo, ou seja, segue todos os quatro axiomas. (Não seja preguiçoso! Eu não estou te alimentando com colher, verifique você mesmo)

Vamos chamar esse grupo A de nossa equipe A.

Então, voltando à nossa pergunta principal .... 4 + 5 e 5 + 4 são iguais?

Bem, se 4 e 5 pertencem ao nosso "time A", então

4 + 5 = jk = i = 3

MAS

5 + 4 = kj = -i = -3

SIM, há uma diferença!

Então, basicamente, o que estamos tentando procurar é se nossa operação + em um grupo comutativo? (ou use o nome fantasia Abelian)

No primeiro caso, o grupo era comutativo e, portanto, 4 + 5 e 5 + 4 significavam a mesma coisa, enquanto no segundo o grupo não era comutativo e, portanto, 4 + 5 e 5 + 4 não eram a mesma coisa.

Na álgebra abstrata, essa propriedade das estruturas algébricas é tão importante que os matemáticos a estudam como diferentes ramos, chamados álgebra comutativa e álgebra não comutativa.

Ufa!

PS: Meu relógio diz que são 5:09 da manhã e agora que terminei a resposta, posso dormir em paz.

Leia mais no meu blog: T hin k.

Leia também: Uma canção das montanhas

São 9h51, e um matemático tem um trem para pegar e um telefonema importante para fazer às 10h.

O trem parte em 4 minutos e 35 segundos.

São quatro minutos para chegar ao trem e embarcar, depois cinco minutos para encontrar um assento e se sentir confortável antes de pegar o telefone celular, para uma ligação importante.

Ou então, são cinco minutos para chegar à plataforma a tempo de ver o trem desaparecendo à distância e quatro minutos para encontrar um assento para fazer a ligação enquanto aguarda o próximo trem.

Na álgebra abstrata, um grupo abeliano (depois do matemático norueguês Niels Henrik Abel, 1802-1829), também chamado de grupo comutativo, é um grupo em que a operação do grupo é invariável à ordem em que os operandos são escritos (comutativos). Grupos abelianos generalizam a aritmética da adição de números inteiros; portanto, a operação é geralmente denotada por +

Esse grupo satisfaz cinco axiomas: fechamento, associatividade, existência de um elemento de identidade, existência de um elemento inverso para cada elemento do grupo (o negativo ou inverso aditivo) e, é claro, a comutatividade - isto é, A + B = B + A para qualquer A, B do grupo.

Nesse contexto (incluindo o contexto da aritmética inteira), 5 + 4 tem o mesmo resultado que 4 + 5. Os matemáticos gostam muito de definição e contexto precisos; frequentemente, alterar condições faz uma grande diferença.

Enquanto isso, nos EUA, alguém está marcando alguns testes para a matemática básica comum. O livro de respostas diz 4 + 5.