Existe uma diferença entre um ponto de inflexão horizontal e um ponto de inflexão?

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As linhas podem ser horizontais, os pontos não. Se a inclinação de uma linha tangente em um ponto de inflexão for 0, e esse ponto for um ponto de inflexão, a linha tangente nesse ponto de inflexão será horizontal. Para encontrar a inclinação da reta tangente em um ponto (x0, y0), substitua x = x0 na derivada da função. ---- ---- ---- Editar: a curva que você fornece, y = x ^ 3 + 3x ^ 3 + 3x - 1, simplifica para y = 4x ^ 3 + 3x - 1, e o ponto (- 1, -2) não está nele e, portanto, não pode ser um ponto de inflexão. Talvez você tenha um erro de digitação.

Ponto de Inflexão

➊ "Existe uma diferença entre um ponto de inflexão horizontal e um ponto de inflexão? Eles são a mesma coisa? E se não, qual é a diferença?" Bem, primeiro, um ponto (por sua própria definição) pode ser NEM vertical NEM horizontal. (Simplesmente não faz nenhum sentido matemático pensar em um 'ponto' - que é uma localização exata no espaço 3D ou em um plano 2D - como tendo 'horizontalidade' ou 'verticalidade'.) No entanto, uma LINHA ou um SEGMENTO DE LINHA pode ser horizontal, vertical ou algo intermediário. Um ponto de inflexão, P, no gráfico de uma função PODE estar em um trecho 'plano' da curva (isto é, onde a INCLINAÇÃO da função no ponto P = 0) Sim, um ponto de inflexão ocorre (como você mencionou) quando há uma MUDANÇA na concavidade (de positivo para negativo ou vice-versa). Vejamos um exemplo: considere a função y = f (x) = (x - 1) ³ A primeira derivada é: f⸍ (x) = 3 (x - 1) ² = 3 (x² - 2x + 1) = 3x² - 6x + 3 Quando f⸍ (x) = 3 (x - 1) ² = 0 ➞ a inclinação de f é 0 quando x = 1 A segunda derivada é: f⸍⸍ (x) = 6x - 6 Quando f⸍ ⸍ (x) = 6x - 6 = 0, ➞ x = 1 ➞ há um ponto de inflexão em P (1, f (1)) = P (1, 0) ∴ Aqui temos uma situação em que o SLOPE em P (o ponto de inflexão) é 0. ➞ o ponto de inflexão, P (1, 0) no gráfico de f (x) IS em um trecho da curva onde a função SLOPE = 0, ➞ ou seja, em um 'plano' (isto é, horizontal) trecho de curva. (É isso que você quis dizer em seu Q?) Quais são os valores de x que causam f⸍⸍ (x) = 6x - 6 <0? (➞ concavidade para baixo) Quando 6x - 6 <0 ➞ x <1 ➞ f é côncavo para baixo quando x <1 Quais são os valores de x que causam f⸍⸍ (x) = 6x - 6> 0> (➞ concavidade para cima) Quando 6x - 6> 0 ➞ x> 1 ➞ f é côncavo para cima quando x> 1 ➋ "Se f (x) tem uma mudança na concavidade, tenho a impressão de que está em um ponto horizontal de inflexão. Quando é que um ponto de inflexão? " Não, sinto muito, sua impressão não está correta. Você definitivamente PODE ter um ponto de inflexão (onde a concavidade muda) em um trecho de curva que não é horizontal (isto é, plano). Aqui está um exemplo disso: considere a função g (x) = x³ + 6x² - 63x f⸍ (x) = 3x² + 12x - 63 = 3 (x² + 4x - 21) = 3 (x + 7) (x - 3) f⸍ (x) = 0 quando x = –7, e quando x = 3 ➞ existem 'pontos de inflexão' (mín / máx locais) em x = –7, & x = 3 f⸍⸍ (x) = 6x + 12 f⸍⸍ (x) = 0 quando x = - 2 ∴ Portanto, há um ponto de inflexão em (–2, f (–2)) = (–2, 142) Mas ... a inclinação em x = –2 é f⸍ (–2) = –75 ➞ gráfico de f NÃO é 'plano "' no ponto de inflexão. Espero que ajude! Saúde! :).

Eles são a mesma coisa? E se não, qual é a diferença?

Se f "(x) tem uma mudança na concavidade, tenho a impressão de que é um ponto de inflexão horizontal. Quando é apenas um ponto de inflexão?