Diferença entre representação virtual e real

TL; DR: Uma representação virtual é um elemento do grupo de representações Grothendieck (de qualquer que seja) que não seja (necessariamente) a classe de uma representação real.

Detalhes:

Discutirei o caso das representações de grupo, mas quase tudo isso faz sentido (com as mudanças necessárias e rotineiras) para outros tipos de representações. Também assumirei que você sabe o que são representações de grupo e que você tem alguma familiaridade básica com elas (se não, por que perguntaria sobre representações virtuais?). Aqui está um dos meus conjuntos favoritos de notas sobre a teoria básica da representação:

https://math.berkeley.edu/~teleman/math/RepThry.pdf

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Seja G um grupo e suponha que V, W sejam duas representações de G (como de costume, quero dizer que V, W são os espaços vetoriais subjacentes e que eles vêm com ações lineares fixas de G). A soma direta V \ oplus W também é uma representação de G. Portanto, podemos "adicionar" representações.

O que significaria "subtrair" duas representações? Uma tentativa razoável de definir uma definição seria dizer "VW" é uma representação U tal que U \ oplus W \ cong V. Mas isso nem sempre existe, por exemplo, se V e W são irredutíveis e não isomórficos. Então, isso só existe às vezes.

Podemos forçar essa subtração a sempre fazer sentido, considerando uma noção mais fraca de equivalência de representações do que o isomorfismo. O grupo Grothendieck K_0 (G) de representações de G é o grupo abeliano livre nas classes de isomorfismo das representações de G, modulo a relação que

[V] = [U] + [W] se V \ cong U \ oplus W.

Quando X é uma representação, escrevemos [X] para sua classe no grupo Grothendieck. Devido a esta definição, existem símbolos como - [X] em K_0 (G). Mas não há garantia de que exista uma representação Y tal que [Y] = - [X] (na verdade, para grupos suficientemente agradáveis ​​e X, Y \ neq 0, isso nunca acontece).

Para responder à pergunta original: uma representação virtual é um elemento de K_0 (G) que não é (necessariamente) a classe de uma representação de G.