Diferença entre dois cubos

x ^ 3-y ^ 3 = x ^ 2-y ^ 2

(xy) (x ^ 2 + xy + y ^ 2) = (xy) (x + y), ou

x ^ 2 + xy + y ^ 2 = x + y, ou

x ^ 2 + (y-1) x + y ^ 2 = 0

x1 = [(1-y) + (y ^ 2–2y + 1–4y ^ 2) ^ 0,5] / 2

= [1-y + (1–2y-3y ^ 2) ^ 0,5] / 2

= [1-y + (1–3y) ^ 0,5 * (1 + y) ^ 0,5] / 2

Quando y = 0, x = 0,

Existem outros dois valores que deixo para você descobrir.

Encontre as soluções para:

x ^ 3-y ^ 3 = a ^ 2-b ^ 2 \ tag * {}


Se x = a, y = b, temos que resolver:

x ^ 3-y ^ 3 = x ^ 2-y ^ 2 \ tag {1}

ou

(xy) (x ^ 2 + xy + y ^ 2) = (xy) (x + y) \ tag * {}

o que significa que x = y ou:

x ^ 2 + xy + y ^ 2 = x + y \ tag * {}

o que equivale a resolver:

y ^ 2 + y (x-1) = xx ^ 2 \ tag * {}

Dando:

(y + (x-1) / 2) ^ 2 = 1/4 (4x (1-x) + (1-x) ^ 2) \ tag * {}

Nós temos:

y = 1/2 \ esquerda ((1-x) \ pm \ sqrt {(1 + 3x) (1-x)} \ direita) \ tag * {}

Isso tem uma solução para valores reais de x, y se (1 + 3x) (1-x) \ ge 0, ou: x \ in [-1 / 3,1] \ tag * {}

As únicas soluções com x, y \ in \ mathbb {Z} são: (0,0), (0,1), (1,0) \ tag * {}


Se escolhermos x = b, y = a, temos que resolver:

x ^ 3-y ^ 3 = y ^ 2-x ^ 2 \ tag * {}

que é equivalente a (1) se mudar x \ para -x, y \ para -y

As únicas soluções com x, y \ in \ mathbb {Z} são: (0,0), (0, -1), (- 1,0) \ tag * {}


Se a, b, y estão em \ mathbb {R}, sempre podemos encontrar um x exclusivo:

x ^ 3 = a ^ 2-b ^ 2 + y ^ 3 \ tag * {}

porque x ^ 3 é bijetivo em \ mathbb {R}.

Se limitarmos o domínio das variáveis ​​a \ mathbb {Z}, poderemos reescrever a equação para o seguinte sistema de equações:

\ begin {array} {ll} z & = x ^ 3-y ^ 3 \\ z & = a ^ 2-b ^ 2 \ end {array} \ tag * {}

com z \ in \ mathbb {Z}.

A segunda equação daria um número limitado de soluções a, b para qualquer z com z \ mod 4 \ ne 2.

O que mudaria a pergunta para o seguinte:

Para qual z \ in \ mathbb {Z}, z \ mod 4 \ ne 2 faz a equação diofantina:

x ^ 3-y ^ 3 = z \ tag * {}

tenha uma solução x, y \ in \ mathbb {Z}. (possivelmente com a restrição \ gcd (x ^ 3, y ^ 3, z) = 1).