Como você pode determinar rapidamente o número de raízes que um polinômio terá olhando a equação?

Pode-se observar o grau do polinômio e declarar que o polinômio possui muitas raízes, reais e complexas e duplicatas contadas. Isso é graças ao teorema fundamental da álgebra.

Vou oferecer o meu método favorito. Talvez você seja exposto a vários métodos favoritos enquanto outros respondem a essa pergunta. Estou ansioso para lê-los.

Em geral, não tenho certeza de que se possa olhar para um polinômio e saber imediatamente quantas raízes de vários tipos ele possui. No entanto, existem técnicas que nos ajudam a adivinhar essas informações.

A ferramenta que vem à mente imediatamente é a Regra de Sinais de Descartes. Para ilustrar, considere a equação x ^ 4 + x ^ 3 + x ^ 2-x-1 = 0. Como raízes complexas acontecem em pares, podemos observar o número de alterações de sinal quando as lemos da esquerda para a direita. (Foi por isso que não coloquei nenhum número.) Os sinais são +++ - -. Essa sequência de sinais tem apenas um sinal alterado e é de + para -. Por isso, posso dizer que a equação dada tem apenas 1 raiz positiva real. Agora, mude o sinal de cada termo de grau ímpar e observe x ^ 4-x ^ 3 + x ^ 2 + x-1 = 0. Desta vez, os sinais são + - ++ - e há 3 alterações. Aqui é onde entram os pares de raízes complexas. Como existem três mudanças, existem 1 ou 3 raízes reais negativas. Então, podemos dizer um pouco sobre o número de raízes: há uma positiva, 1 ou 3 negativa e 2 ou 0 complexa.

Outro exemplo: x ^ 5 + 9x ^ 4-x ^ 3 + x-1 = 0. Os sinais são ++ - + - mostrando 3 alterações de sinal. Isso diz que existem 3 raízes positivas ou 3–2 (sempre 2) = 1 raiz real positiva. Em seguida, altere os sinais dos termos de energia ímpares. Isso é realmente apenas substituindo cada x por -x. Temos -x ^ 5 + 9x ^ 4 + x ^ 3-x-1 = 0 com sinais - ++ - - mostrando 2 alterações de sinal. A partir disso, concluímos que a equação tem 2 ou 2–2 = 0 raízes negativas reais.

Isso tende a se tornar menos útil quanto maior o grau do polinômio.